Rumus - Rumus Statistika

Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data. Singkatnya, statistika adalah ilmu yang berkenaan dengan data. Istilah 'statistika' (bahasa Inggris: statistics) berbeda dengan 'statistik' (statistic). Statistika merupakan ilmu yang berkenaan dengan data, sedang statistik adalah data, informasi, atau hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data. Dari kumpulan data, statistika dapat digunakan untuk menyimpulkan atau mendeskripsikan data; ini dinamakan statistika deskriptif. Sebagian besar konsep dasar statistika mengasumsikan teori probabilitas. Beberapa istilah statistika antara lain : populasi, sampel, unit sampel, dan probabilitas.

Statistika banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu, baik ilmu-ilmu alam (misalnya astronomi dan biologi maupun ilmu-ilmu sosial (termasuk sosiologi dan psikologi), maupun di bidang bisnis, ekonomi, dan industri. Statistika juga digunakan dalam pemerintahan untuk berbagai macam tujuan; sensus penduduk merupakan salah satu prosedur yang paling dikenal. Aplikasi statistika lainnya yang sekarang popular adalah prosedur jajak pendapat atau polling (misalnya dilakukan sebelum pemilihan umum), serta hitung cepat (perhitungan cepat hasil pemilu) atau quick count. Di bidang komputasi, statistika dapat pula diterapkan dalam pengenalan pola maupun kecerdasan buatan.

1. Mean (Rata-Rata)

Pengertian Mean adalah teknik penjelasan kelompok yang didasarkan atas nilai rata-rata dari kelompok tersebut. Rata-Rata (mean) ini didapat dengan menjumlahkan data seluruh individu dalam kelompok itu, kemudian dibagi dengan jumlah individu yang ada pada kelompok tersebut.

Contoh Mean :

Seluruh pegawai di PT Samudra penghasilan sebulannya dalam satuan ribu rupiah adalah sebagai berikut :

90, 120, 160, 60, 180, 190, 90, 180, 70, 160

Untuk mencari mean atau rata-rata data tersebut tidak perlu di urutkan nilainya seperti dalam mencari median, tetapi dapat langsung dijumlahkan, kemudian dibagi dengan jumlah individu dalam kelompok tersebut. Berdasarkan data diatas, maka mean dapat dihitung :

Me : (90 + 120 + 160 + 180 + 190 + 90 + 180 + 70 + 160) : 10 = 130 ribu rupiah.

Jadi penghasilan rata-rata pegawai di PT Samudra adalah Rp. 130.000.

Rumus Rata-Rata Hitung data kelompok (Mean) 

Keterangan :
fi = frekuensi
xi = nilai tengah
Nilai tengah adalah jumlah tepi bawah dan tepi atas di bagi 2

Contoh :
Perhatikan tabel berikut :

dari tabel berikut tentukan rata-rata hitungnya!

Jawab :

x̅ = (Σ fi + di )/Σ fi 
x̅ = ⁵³⁵/₄₀ 
x̅ = 13,38

2. Median (Nilai Tengah)

Pengertian median adalah salah satu teknik penjelasan kelompok yang didasarkan atas nilai tengah dari kelompok data yang telah disusun urutannya dari yang terkecil sampai yang terbesar, atau sebaliknya dari yang terbesar sampai yang terkecil.

Contoh Median :

Hasil observasi umur pegawai di kantor X adalah :

20, 45, 60, 56, 45, 45, 20, 19, 57, 45, 45, 51, 35

Untuk dapat mencari mediannya maka data umur diatas harus disusun terlebih dahulu urutannya. Setelah disusun, menjadi sebagai berikut :

19, 20, 20, 35, 45, 45, 45, 45, 45, 51, 56, 57, 60

Nilai tengah data diatas berada pada urutan ke 7 yaitu 45. Jadi mediannya adalah 45.

Contoh Median lainnya :

Tinggi badan 10 mahasiswa adalah :

145, 147, 167, 166, 160, 164, 165, 170, 171, 180

Data diatas diurutkan (dari terkecil sampai terbesar atau sebaliknya) menjadi :

180, 171, 170, 167, 166, 165, 164, 160, 147, 145

Jumlah individu dalam kelompok tersebut adalah genap, maka nilai tengahnya adalah dua angka yang ditengah dibagi dua, atau rata-rata dari dua angka yang tengah. Nilai tengah dari kelompok tersebut adalah, nilai ke 5 dan ke 6. Mediannya = 166 + 165 : 2 = 165,5. Dengan demikian dapat dijelaskan rata-rata median tinggi badan kelompok mahasiswa itu adalah 165, 5 cm.

Rumus Median Data Kelompok

Keterangan :
Tb = Tepi bawah kelas median
F = Jumlah frekuensi sebelum median
f  = Frekuensi
c = Panjang kelas
n = Jumlah frekuensi

Contoh :
perhatikan tabel di bawah

Jawab :

Tb = 45 - 0,5 = 44,5

n   = 80

F   = 8 + 10 + 13 = 31

c   = 5

f    = 17

Me = Tb + ( ^(1/₂ ^{n - F)}/_f )c 
Me = Tb + ( ^(1/₂ ^{80 - 31)}/₁₇ )5 
Me = Tb + ( ⁹/₁₇ )5  
Me = 47,15

3. Modus (Nilai Yang Paling Banyak Muncul)

Pengertian modus adalah teknik penjelasan kelompok yang didasarkan atas nilai yang sedang populer (yang sedang menjadi mode) atau nilai yang sering muncul dalam kelompok tersebut.

Dengan : Mo = Modus 
L = Tepi bawah kelas yang memiliki frekuensi tertinggi (kelas modus)

i = Interval kelas
b1 = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sebelumnya 
b2 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sesudahnyaContoh

Modus Pada Data Kualitatif :

Tahun 1970 di Yogyakarta, banyak mahasiswa yang naik sepeda. Sehingga dapat menjelaskan dengan modus, bahwa kelompok mahasiswa di Yogyakarta masih banyak yang naik sepeda.

Contoh Modus Pada Data Kuantitatif :

Umur pegawai kantor Y adalah :

20, 45, 60, 56, 45, 45, 20, 19, 57, 45, 45, 51, 35

Dari data diatas, dapat dilihat bahwa yang paling banyak muncul adalah umur 45. Munculnya sebanyak 5 kali, jadi dapat dijelaskan bahwa kelompok pegawai kantor Y sebagian besar berumur 45 tahun.

Rumus Modus Data Kelompok

Keterangan :

Tb = Tepi bawah kelas modus

d1 = Selisih antara frekuensi modus dengan frekuensi sebelumnya

d1 = selisih antara frekuensi modus dengan frekuensi sesudahnya

c = Panjang kelas

Contoh :

Perhatikan tabel berikut :

Jawab :
Tb = 45 -0,5 = 45,5
d1 = 17 - 13  = 4
d2 = 17 - 14  = 3
c = 35 - 30 = 5

Mo = Tb + (^d₁/_{(d1 + d2)})c 
Mo = 44,5 + (³/_{(3 + 4)})5 
Mo = 44,5 + ¹⁵/₇ 
Mo = 46,64

Kuartil (Q)

Seperti yang sudah dibahas sebelumnya, bahwa median membagi data yang telah diurutkan menjadi dua bagian yang sama banyak. Adapun kuartil adalah membagi data yang telah diurutkan menjadi empat bagian yang sama banyak.

1) Kuartil data tunggal

Urutkan data dari yang kecil ke yang besar, kemudian tentukan kuartil dengan rumus sebagai berikut:

Contoh:

    Tentukan Q1, Q2, dan Q3 dari data : 3, 4, 7, 8, 7, 4, 8, 4, 6, 9, 10, 8, 3, 7, 12.

     Jawab:

     Langkah 1: urutkan data dari  kecil ke besar sehingga diperoleh

                      3, 3, 4, 4, 4, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 12.

                                                 1(15+1)

     Langkah 2: Letak data Q1=–––––––– = 4

                                                      4

                      Jadi Q1 terletak pada data ke-empat yaitu 4

                                                 2(15+1)

     Langkah 3: Letak data Q2=–––––––– = 8

                                                      4

                      Jadi Q2 terletak pada data ke-delapan yaitu 7

                                                 3(15+1)

     Langkah 4: Letak data Q1=–––––––– = 12

                                                      4

                      Jadi Q3 terletak pada data ke-duabelas yaitu 8

2) Kuartil data kelompok

Nilai kuartil dirumuskan sebagai berikut

Keterangan:

Qi = kuartil ke-i (1, 2, atau 3)

L  = tepi bawah kelas kuartil ke-i

n = banyaknya data

F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas kuartil

c = lebar kelas

f = frekuensi kelas kuartil

Ukuran Penyebaran Data

Ukuran pemusatan yaitu mean, median dan modus, merupakan informasi yang memberikan penjelasan kecenderungan data sebagai wakil dari beberapa data yang ada. Adapun ukuran penyebaran data memberikan gambaran seberapa besar data menyebar dari titik-titik pemusatan.

Jangkauan (Range)

Ukuran penyebaran yang paling sederhana (kasar) adalah jangkauan (range) atau rentangan nilai, yaitu selisih antara data terbesar dan data terkecil.

1) Range data tunggal

    Untuk range data tunggal dirumuskan dengan:

    R = xmaks – xmin

    Contoh :

    Tentukan range dari data-data di bawah ini.

     6, 7, 3, 4, 8, 3, 7, 6, 10, 15, 20

     Jawab:

     Dari data di atas diperoleh xmaks = 20 dan xmin = 3

     Jadi, R = xmaks – xmin

                 = 20 – 3 = 17

2) Range data kelompok

Untuk data kelompok, nilai tertinggi diambil dari nilai tengah kelas tertinggi dan nilai terendah diambil dari nilai kelas yang terendah.

Simpangan Rata-Rata (Deviasi Rata-Rata)

Simpangan rata-rata suatu data adalah nilai rata-rata dari selisih setiap data dengan nilai rataan hitung.

1) Simpangan rata-rata data tunggal

         Simpangan rata-rata data tunggal dirumuskan sebagai berikut.

 2) Simpangan rata-rata data kelompok

         Simpangan rata-rata data kelompok dirumuskan:

Simpangan Baku (Deviasi Standar) dan Ragam (Varian)

Sebelum membahas simpangan baku atau deviasi standar, perhatikan contoh berikut. Kamu tentu tahu bahwa setiap orang memakai sepatu yang berbeda ukurannya. Ada yang berukuran 30, 32, 33, ... , 39, 40, dan 41. Perbedaan ini dimanfaatkan oleh ahli-ahli statistika untuk melihat penyebaran data dalam suatu populasi. Perbedaan ukuran sepatu biasanya berhubungan dengan tinggi badan manusia. Seorang ahli matematika Jerman, Karl Ganss mempelajari penyebaran dari berbagai macam data. Ia menemukan istilah deviasi standar untuk menjelaskan penyebaran yang terjadi. Saat ini, ilmuwan menggunakan deviasi standar atau simpangan baku untuk mengestimasi akurasi pengukuran. Deviasi standar adalah akar dari jumlah kuadrat deviasi dibagi banyaknya data.

1) Simpangan baku dan ragam data tunggal

    Simpangan baku/deviasi standar data tunggal dirumuskan sebagai berikut.

Misalkan dalam suatu kelas, tinggi badan beberapa orang siswa yang dijadikan sampel adalah sebagai berikut. 

172, 167, 180, 170, 169, 160, 175, 165, 173, 170

Dari data tersebut diketahui bahwa jumlah data (n) = 10, dan (n - 1) = 9. Selanjutnya dapat dihitung komponen untuk rumus varian

Dari tabel tersebut dapat ketahui:

Dengan demikian, jika dimasukkan ke dalam rumus varian, maka hasilnya adalah sebagai berikut.

Dari penghitungan, diperoleh nilai varian sama dengan 30,32.

Dari nilai tersebut bisa langsung diperoleh nilai standar deviasi (simpangan baku) dengan cara mengakarkuadratkan nilai varian.

Keterangan:

s2 = varian

s = standar deviasi (simpangan baku)

xi = nilai x ke-i

= rata-rata

n = ukuran sampel